Question

数列{a_n}满足a₁=1，且点(

an

，an+1)(n∈N*)在函数y=x²+1的图象上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

Sn

，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n＜λa_n+1对一切n∈N^•都成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的定义，确定{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出等差数列的前n项和，利用bn=

1

Sn

，可求数列{b_n}的通项公式；
（3）裂项法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，根据T_n＜λa_n+1对一切n∈N^•都成立，利用分离参数法，求出函数的最值，即可求得λ的取值范围．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，且点(

an

，an+1)(n∈N*)在函数y=x²+1的图象上，
∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∵a₁=1，
∴a_n=n；
（2）因为Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n2+n

2

，bn=

1

Sn

，所以bn=

2

n2+n

（3）由bn=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
得Tn=2(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

若T_n＜λa_n+1对一切n∈N^•都成立，即

2n

n+1

＜λ(n+1)，n∈N^•恒成立，所以λ＞

2n

(n+1)2

而

2n

(n+1)2

=

2

n+ 1 n +2

≤

2

2+2

=

1

2

）（当且仅当n=1时取等号）
所以λ＞

1

2

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确求和，利用分离参数法是解题的关键．