Question

如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，，AC与BD交于O点．将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ACD内．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若已知二面角A-PB-D的余弦值为，求θ的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角A-PB-D的余弦值为，可求θ的大小．
解答：（Ⅰ）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，所以AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：以OB为x轴，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（），P（，），则，
平面PBD的法向量为
设平面ABP的法向量为
则由得，，令x=1，则
∴cos＜＞===
∴=3，即，
又θ∈，∴．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．