Question

如图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点.

(1)证明:ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线;

(2)设AA₁=AC=2AB,求二面角A₁—AD—C₁的大小.

Answer 1

(1)证明：如图，建立直角坐标系O—xyz，其中原点O 为AC的中点.?

设A（a,0,0）,B(0,b,0),B₁(0,b,2c).?

则C（-a,0,0）,C₁(-a,0,2c),E(0,0.c),D(0,b,c).?

=(0,b,0),=(0,0,2c).?

·=0，∴ED⊥BB₁.?

又=（-2a,0,2c）, ·=0，?

∴ED⊥AC₁，

∴ED是异面直线BB₁与AC₁的公垂线.

(2)解：不妨设A（1，0，0）?

则B（0，1，0），C（-1，0，0），A₁（1，0，2），?

=（-1，-1，0），=（-1，1，0），=（0，0，2）?

·=0，·=0.?

即BC⊥AB，BC⊥AA₁.

又AB∩AA₁=A,?

∴BC⊥面A₁AD.?

又E（0，0，1），D（0，1，1），C（-1，0，0）.?

=(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0),?

·=0，·=0，即EC⊥AE，EC⊥ED.?

又AE∩ED=E,?

∴EC⊥面C₁AD.?

cos〈,〉==，即得和的夹角为60°.?

∴二面角A₁—AD—C₁为60°.