Question

（2012•房山区二模）数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和是S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（I）求出 a₂，a₃，a₄；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求证：S_nS_n+2＜

S

2 n+1

．

Answer 1

分析：（I）利用数列递推式，代入计算，可求a₂，a₃，a₄；
（II）再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（III）求出前n项和，代入计算，可以证得结论．

解答：（I）解：∵a₁=1，S_n=2a_n-1，
∴当n=2时，a₁+a₂=2a₂-1，∴a₂=2
当n=3时，a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=4
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-1，∴a₄=8      …（3分）
（II）解：∵S_n=2a_n-1，n∈N^*．         （1）
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*．    （2）
（1）-（2）得a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1…（8分）
（III）证明：∵S_n=2a_n-1=2ⁿ-1，
∴S_nS_n+2=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1，

S

2 n+1

=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1
∵2ⁿ＞0
∴S_nS_n+2＜

S

2 n+1

．…（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．