Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；

（Ⅱ）设，其中为非零实数，若有两个极值点，且，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】试题分析: （Ⅰ）设切点，根据导数几何意义得切线斜率等于切点处导数值，切点在切线上也在曲线上列方程组，可解得切点坐标，根据点斜式写出切线方程，（Ⅱ）先根据导数确定有两个极值点的条件:，并求出极值点，再研究函数，此时先将用表示，转化为证明一元函数在上最小值大于零，这可以利用导数易得.

试题解析:解：（Ⅰ）

设切点为，则切线的斜率为

点在上，

，解得

切线的斜率为，切线方程为

（Ⅱ）

当时，即时，在上单调递增；

当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，由得，在上单调递减，在上单调递增.

当时，有两个极值点，即，

，由得，

由

，即证明

即证明

构造函数，

在上单调递增，

又，所以在时恒成立，即成立

.