Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；

（Ⅱ）设，其中为非零实数，若有两个极值点，且，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】试题分析：（1）求出 的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求的切线的方程；（2）求出 解析式和导数，讨论 ，求出极值点和单调区间，由 等价于，由可得，即证明

，由可得 ，即证明，构造函数，求出导数单调性，即可证。

解：（Ⅰ）

设切点为，则切线的斜率为

点在上，

，解得

切线的斜率为，切线方程为

（Ⅱ）

当时，即时，在上单调递增；

当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，由得，在上单调递减，在上单调递增.

当时，有两个极值点，即，

，由得，

由

，即证明

即证明

构造函数，

在上单调递增，

又，所以在时恒成立，即成立

.