题目内容

定义域为R的函数y=f（x）对于任意x都有 $数学公式$ 时 $数学公式$ 的根的个数为

A.
7
B.
6
C.
5
D.
4

C
分析：根据已知条件先求出函数y=f（x）在区间[0，8]上的解析式，然后再同一坐标系中画出函数y=f（x）、y= $\text{[math]}$ 的图象，根据函数的单调性并结合函数的图象即可得出二图象的交点个数．
即方程f（x）- $\text{[math]}$ 的根的个数．
解答：设x∈（2，4]时，（x-2）∈（0，2]，∴f（x）= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；

同理x∈（4，6]，f（x）=2 $\text{[math]}$ ；x∈（6，8]，f（x）=- $\text{[math]}$ ．
即f（x）= $\text{[math]}$
在同一坐标系中分别画出函数y=f（x）、y= $\text{[math]}$ 的图象，如图所示．
①当x≤x≤1时，∵f（0）=0= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，f（1）=1= $\text{[math]}$ ，∴在区间[0，1]上有三个交点；
②当1＜x≤6时，由图象可以看出函数y=f（x）与y= $\text{[math]}$ 的图象无交点；
③当6＜x＜8时，∵ $\text{[math]}$ ，由图象和函数的单调性可得：在此区间内有两个交点．
④当x=8时，f（8）=0＜ $\text{[math]}$ ，无交点．
综上可知：在区间[0，8]内，函数y=f（x）与 $\text{[math]}$ 的交点共有5个，即方程f（x）- $\text{[math]}$ =0在区间x∈[0，8]的根的个数为5．
故选C．
点评：由已知条件正确求出函数y=f（x）的解析式并画出函数y=f（x）、 $\text{[math]}$ 的图象是解题的关键．数形结合思想方法是解此类题目常用的方法之一．