Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．
（1）当a=-3时，求y=f（x）的单调区间和极值；
（2）设g(x)=

19

6

x-

1

3

，是否存在实数a，对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间，从而可得函数的极值；
（2）确定函数g（x）的值域，设h（x₁）=f′（x₁）+2ax₁，要使对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，-

1

3

≤h（x₁）≤6，由此可求a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-3时，f（x）=x³+4x²-3x，f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）=0得：x₁=-3、x₂=

1

3

令f'（x）＜0，可得-3＜x＜

1

3

，令f'（x）＞0，可得x＜-3或x＞

1

3

，
所以f（x）在（-3，

1

3

）单调递减，在（-∞，-3），（

1

3

，+∞）单调递增   
所以f（x）_极大=f（-3）=18，f（x）_极小=f（

1

3

）=-

14

27

；
（2）在[0，2]，g(x)=

19

6

x-

1

3

是增函数，故对于x₂∈[0，2]，g（x₂）∈[-

1

3

，6]．
设h（x₁）=f′（x₁）+2ax₁=3

x

2 1

+2x₁-a（a+2），x₁∈[-1，1]，∴h'（x₁）=6x₁+2，
由h'（x₁）=0，得x₁=

1

3

要使对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，-

1

3

≤h（x₁）≤6，
在（-1，-

1

3

）上h′（x₁）＜0，在（-

1

3

，1）上h′（x₁）＞0，
∴x₁=-

1

3

时，h（x₁）有极小值h（-

1

3

）=-

1

3

-a²-2a，
∵h（-1）=1-a²-2a，h（1）=5-a²-2a，
∵在[-1，1]上，h（x₁）只有一个极小值，
∴h（x₁）的最小值为-

1

3

-a²-2a，
∴

1-a2-2a≤6 5-a2-2a≤6 - 1 3 -a2-2a≥- 1 3

解得-2≤a≤0．

点评：本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．