题目内容

已知函数f（x）对任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2.

（1）判断函数f（x）的奇偶性.

（2）当x∈［-3，3］时，函数f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由.

思路解析：本题考查抽象函数的奇偶性和单调性、最值问题.

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（0）=f（0）+f（0）f（0）=0.

而0=x-x，因此0=f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0f（-x）=-f（x）.∴函数f（x）为奇函数.

（2）设x1＜x2，由f（x+y）=f（x）+f（y）知f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）〔f（x）为奇函数〕，∵（x2-x1）＞0，且x＞0时f（x）＜0，∴f（x2-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）.函数f（x）是定义域上的减函数，当x∈［-3，3］时，函数f（x）有最值.当x=-3时，函数有最大值f（-3）；当x=3时，函数有最小值f（3）.

f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6.

∴当x=-3时，函数有最大值6；当x=3时，函数有最小值-6.

练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．
若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．
若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．
已知函数f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，
1
2
）对称；
（Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在实数b，使得任给a∈[
1
4
，
1
3
]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．
（2012•海淀区一模）已知函数f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，则f（f（x））=
1
1

下面三个命题中，所有真命题的序号是
①②③
①②③
．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

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