Question

已知半椭圆+=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（，-）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：由点M（，-）在半圆上，可求b，然后求出G，H，A，根据已知AGM的面积最大的条件可知，OM⊥AG，
即K_OM•K_AG=-1，代入可求a，进而可求椭圆方程
解答：解：由点M（，-）在半圆上，
所以b=1，
∵G（0，a），H（0，-a），A（-b，0）
而当点M位于（，-）时，△AGM的面积最大可知，OM⊥AG，
即K_OM•K_AG=-1，
∵，K_AG==a
∴═-1
∴a=，b=1
所以半椭圆的方程为（y≥0）
故答案为：（y≥0）
点评：本题主要考查了椭圆方程的求解，直线的垂直与斜率关系的应用，解题的关键是灵活利用椭圆的性质