Question

设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），若四边形DMEN的面积为，求DE的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），x=a²交x轴于点A，且，可得F₂为AF₁的中点，进而求出a²，b²的值后可得椭圆的方程．
（II）分析讨论直线DE与x轴垂直和MN与x轴垂直及直线DE，MN均与x轴不垂直时，满足四边形DMEN的面积为的条件，进而得到DE的直线方程．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴||=2c=2，
∴c=1
∵直线l：x=a²交x轴于点A，
∴A（a²，0）----------（1分）
∵为AF₁的中点------------（2分）
∴a²=3，b²=2------------（3分）
即：椭圆方程为------------（4分）
（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=2=，此时|MN|=2a=2，
四边形DMEN的面积S==4不符合题意故舍掉；------------（5分）
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积积S==4不符合题意故舍掉；------------（6分）
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，
设DE：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0------------（7分）
设D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），则------------（8分）
所以|x₁-x₂|==，------------（9分）
所以|DE|=•|x₁-x₂|=，------------（10分）
同理|MN|==------------（12分）
所以四边形的面积S==••=
由S==2或k²=⇒k=±，
所以直线l_DE：=0或l_DE：=0或l_DE：=0或l_DE：=0-------（14分）
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．