Question

已知如图椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，AB=4，直线x=t（-2＜t＜2）与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；
（3）当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AB=4求得a，通过离心率求得c，进而可得b，求出椭圆的标准方程．
（2）根据题意可得A，B，M，N，P的坐标，进而可求得直线AM和PC₁的斜率，进而可求得直线PC₁的方程通过C₁和C₂的求得线段C₁C₂的长度为定值．
（3）根据两圆的半径求出关于t的圆C1与圆C2的面积的和S的关系式，根据t的范围可求得S的最小值．
解答：解：（1）由题意：可得：，
故所求椭圆方程为：=1，
（2）易得A的坐标（-2，0），B的坐标（2，0），M的坐标，N的坐标，
线段AM的中点P，
直线AM的斜率k₁==，
又PC₁⊥AM，∴直线PC₁的斜率k₂=-2
∴直线PC₁的方程y=-2（x-）+，
∴C₁的坐标为（，0）同理C₂的坐标为（，0），
∴|C₁C₂|=，即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值．
（3）圆C₁的半径为|AC₁|=，圆C₂的半径为|BC₂|=，
则S=π|AC₁|²+π|BC₂|²=（9t²+100）（-2＜t＜2）
显然t=0时，S最小，S_min=．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．平时要多注意积累椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆，圆与椭圆的位置关系，熟练地求弦长、面积、对称等问题．