Question

已知圆C：x2+y2-2tx-

4

t

y=0(t∈R，t≠0)与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意知A（2t，0），B(0，

4

t

)，进而表示出面积即可得到答案．
（2）由OM=ON，CM=CN可得OC垂直平分线段MN，根据题意得到直线OC的方程是y=

1

2

x，所以t=2或t=-2，再分别验证t的数值是否正确，进而得到答案．

解答：解：（1）由题意知A（2t，0），B(0，

4

t

)
∴S△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

×|

4

t

|×|2t|=4，
所以△OAB的面积为定值．
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分线段MN．
∵k_MN=-2，
∴koc=

1

2

，
∴直线OC的方程是y=

1

2

x．
又因为圆心C（t，

2

t

），
所以

2

t

=

1

2

t，解得：t=2或t=-2．
①当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=

5

，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=

1

5

＜

5

，圆C与直线y=-2x+4相交于两点．
②当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），OC=

5

，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=

9

5

＞

5

，圆C与直线y=-2x+4不相交，∴t=-2不符合题意舍去．
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．

点评：本题主要考查圆与直线的方程，以及直线与圆的位置关系，并且熟练掌握运用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，是一道中档题．