Question

（1）化简：sin50°(1+

3

tan10°)；
（2）已知△ABC中，sinA+cosA=

1

3

，求cos2A的值．

Answer 1

分析：（1）将tan10°，切化弦，再利用和角的正弦公式化简可得

sin80°

cos10°

=

cos10°

cos10°

=1；
（2）将sinA+cosA=

1

3

两边平方可求sin2A，再确定角A的范围，从而可求cos2A的值．

解答：解：（1）原式=sin50°(1+

3 sin10°

cos10°

)=

sin50°(cos10°+ 3 sin10°)

cos10°

（2分）
=

2sin50°( 1 2 cos10°+ 3 2 sin10°)

cos10°

=

2cos40°sin40°

cos10°

（4分）
=

sin80°

cos10°

=

cos10°

cos10°

=1（5分）
（2）∵sinA+cosA=

1

3

&∴

1+sin2A=

1

9

⇒sin2A=-

8

9

（7分）
∵在△ABC中，0＜A＜π

∴sinA＞0

，
且sin2A=2sinAcosA=-

8

9

＜0
∴cosA＜0

∴

π

2

＜A＜π（8分）
又sinA+cosA=

1

3

＞0⇒sinA＞-cosA

∴

tanA＜-1
∴

π

2

＜A＜

3π

4

⇒π＜2A＜

3π

2

（9分）
∴cos2A=-

1-sin22A

=-

17

9

（10分）

点评：本题主要考查三角函数式的化简，关键是切化弦，利用两角和差的三角公式，利用平方关系时应注意确定角的范围．