Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

（x≠0）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（1）=2，试判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对a进行分类讨论．（2）由f（1）=2，确定a的值，然后利用单调性的定义进行判断和证明．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x²，f（-x）=f（x），函数是偶函数．…（2分）
当a≠0时，f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0；
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…（5分）
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（6分）
（2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，这时f（x）=x²+

1

x

．…（7分）
任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，…（8分）
则f（x₁）-f（x₂）=

x

2 1

+

1

x1

-(

x

2 2

+

1

x2

)=(x1-x2)(x1+x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)[(x1+x2)-

1

x1x2

]，…（11分）
由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞

1

x1x2

，…（12分）
所以f（x₁）＜f（x₂），…（13分）
故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．…（14分）

点评：本题主要考查函数奇偶性好单调性的应用，要使熟练掌握函数奇偶性和单调性的应用．