Question

如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM，
（Ⅰ）求证：E，H，M，K四点共圆；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接CH， ∵AC=AH，AK=AE， ∴四边形CHEK为等腰梯形， 注意到等腰梯形的对角互补， 故C，H，E，K四点共圆， 同理C，E，H，M四点共圆， 即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上， 证毕； （Ⅱ）解：连接EM， 由（Ⅰ）得E，H，M，C，K五点共圆， ∵CEHM为等腰梯形， ∴EM=HC，故∠MKE=∠CEH， 由KE=EH 可得∠KME=∠ECH， 故△MKE≌△CEH， 即KM=EC=3为所求。