Question

一名博彩操盘手，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿摸彩者，每人交
1元钱给这名操盘手作为“手续费”然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：

摸5个球	中彩发放产品
有5个白球	1个帽子（价值20元）
恰有4个白球	1张贺卡（价值2元）
恰有3个白球	纪念品（价值0.5元）
其他	同乐一次（无任何奖品）

（1）求摸一次能获得20元奖品的概率；
（2）按摸10000次统计，求这名操盘手平均净赚多少钱？（精确到100元）

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从12个球中摸出5个球，共有C₁₂⁵种结果，满足条件的事件是从6个球中摸出5个球，共有C₆⁵种结果，得到概率．
（2）在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就看该随机变量的期望是否大于0．把取到白球的个数作为随机变量ξ，做出概率，算出收入，写出收入的分布列，做出期望．

解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是从12个球中摸出5个球，共有C₁₂⁵种结果，
满足条件的事件是从6个球中摸出5个球，共有C₆⁵种结果，
∴摸一次能获得20元奖品的概率是P=

C 5 6

C 5 12

=

1

132

；
（2）在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，
他能否赚钱，就看该随机变量的期望是否大于0．
如果把取到白球的个数作为随机变量ξ，则P(ξ=5)=

C 5 6

C 5 12

=

1

132

，P(ξ=4)=

C 4 6 • C 1 6

C 5 12

=

15

132

P(ξ=3)=

C 3 6 • C 2 6

C 5 12

=

50

132

P(ξ=2)+P(ξ=1)+P(ξ=0)=

66

132

∴博彩者的收入这一随机变量η（可能是负数值）的分布列为

η	-19	-1	0.5	1
P	1 132	15 132	50 132	66 132

∴收入随机变量η的期望为：Eη=(-19)×

1

132

+(-1)×

15

132

+0.5×

50

132

+1×

66

132

=

57

132

=0.4300，
故这各操盘手平均净赚4300元．

点评：本题看出离散型随机变量的分布列和期望，以及等可能事件的概率，本题解题的关键是利用概率解决实际问题时，要首先读懂题意．