Question

如图，设点P(m，n)是圆C1：x2+(y+1)2=

3

4

上的动点，过点P作抛物线C2：x2=ty(t＞0)的两条切线，切点分别是A、B．已知圆C₁的圆心M在抛物线C₂的准线上．
（I）求t的值；
（Ⅱ）求

PA

•

PB

的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先分别求出圆心坐标和抛物线的准线方程，进而即可得出；
（Ⅱ）设出切线的方程，并与抛物线的方程联立，由相切可得△=0，利用根与系数的关系及数量积即可得出

PA

•

PB

，再利用点P在圆上及函数的导数即可求出最小值．

解答：解：（Ⅰ）圆C₁的圆心M（0，-1），抛物线C₂的准线为y=-

t

4

，
∵圆C₁的圆心M在抛物线C₂的准线上，∴-

t

4

=-1，解得t=4．
∴t的值为4．
（Ⅱ）由题意可知：切线PA、PB的斜率都存在，分别为k₁，k₂，切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设过点P的抛物线的切线l：y=k（x-m）+n，代入x²=4y，
可得x²-4kx+（4km-4n）=0（*）
∵直线l与抛物线相切，∴△=16k²-4×（4km-4n）=0，化为k²-km+n=0．
∴k₁+k₂=m，k₁k₂=n．（**）
此时，x₁=2k₁，y1=

x12

4

=k12；同理，x₂=2k₂，y2=k22．
∴

PA

•

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）
=(2k1-m)(2k2-m)+(k12-n)(k22-n)
=4k₁k₂-2m（k₁+k₂）+m2+(k1k2)2-n[(k1+k2)2-2k1k2]+n2
=4n-2m²+m²+n²-n（m²-2n）+n²
=4n²+4n-m²（1+n）．
∵点P（m，n）在圆C₁上，∴m2+(n+1)2=

3

4

，∴m2=

3

4

-(n+1)2，代入上式可得

PA

•

PB

=n3+7n2+

25

4

n+

1

4

，
考查函数f（n）=n3+7n2+

25

4

n+

1

4

(-1-

3

2

≤n≤-1+

3

2

)．
求得f^′（n）=3n2+14n+

25

4

=

1

4

(2n+1)(6n+25)，
令f^′（n）=0，解得n=-

1

2

或-

25

6

．
当n∈(-1-

3

2

，-

1

2

)时，f^′（n）＜0，f（n）单调递减；
当n∈(-

1

2

，-1+

3

2

)时，f^′（n）＞0，f（n）单调递增．
∴当n=-

1

2

时，f（n）取得最小值f(-

1

2

)=-

5

4

．
此时对应的点P(±

2

2

，-

1

2

)．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线相切问题的解决模式、根与系数的关系、利用导数求函数的最值等是解题的关键．