Question

如图，设点P是椭圆上的任意一点（异于左，右顶点A，B）．
（1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；
（2）设直线PA，PB分别交直线与点M，N，求证：PN⊥BM．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出直线AC的方程，由直线与圆心相切的性质可知，圆心到直线的距离等于半径可求r
（2）要证明PN⊥BM，只要证明，先设P的坐标，及直线AP，BP与直线x=的交点M，N，由A，P，M三点共线可知AM，BM的斜率相等，AN，BN的斜率相等，结合点P在椭圆上，可寻求P，M，N的坐标的关系，代入即可证明
解答：（1）解：由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，1），F（，0），
直线AC的方程为x-2y+2=0（2分）
设圆F的半径为r，则由以F为圆心的圆与直线AC相切可得圆心F到直线AC的距离为圆的半径r
∴r==（5分）
（2）设P（x，y），直线AP，BP分别交直线x=于M（），N（）两点
∵A，P，M三点共线
∴K_AP=K_AM即，整理可得，（7分）
同理可得，，整理可得，（9分）
∴
∵P（x，y）在椭圆上
∴即可得（11分）
∴=×=（13分）
∴=•=
==
=
=
=0
∴PN⊥BM
点评：本题主要考查了点到直线的距离公司的应用，三点共线性质的应用，直线与圆的相交关系的应用，及向量的数量积的性质在证明几何关系中的应用，属于综合性试题