Question

（本小题13分）

函数

（1）求的单调区间；

（2）求使函数f(x)有零点的最小正整数a的值；

（3）证明：

Answer 1

（1）函数f(x)的定义域为（0，+∞），

…2分

∵，，∴由得，，

∴f(x)在(0,a+1)上递减，在(a+1,+∞)上递增。……………………4分

（2）∵a∈N^*,∴由（1）知f_min=f(a+1)=a+2-aln(a+1) 

∵有零点，∴有a+2-aln(a+1)≤0，得

令，易知在定义域内是增函数；………6分

∵，而成立，∴

，而成立，∴

故使函数f(x)有零点的最小正整数a的值为4.…………………………………9分

（3）由(2)知

，即 (a≥4)，

∴  (，n≥5),

(，n≥3),

即(，n≥3)，…………………11分

∴

即

∴……………………13分