Question

有人提出如下的圆周率的近似算法：在图3-2的单位正方形内均匀地取n个点P_i(x_i,y_i)(i∈{1,2,…,n}),然后统计出以x_i,y_i,1为边长的三角形中锐角三角形的个数m,则当n充分大时,π≈,试分析这种算法是否正确.

         图3-2

Answer 1

解：根据题中提出的算法,有0＜x_i＜1,0＜y_i＜1,所以以x_i,y_i,1为边长的三角形中,长为1的边所对角A为最大角,当且仅当0°＜A＜90°时,以x_i,y_i,1为边长的三角形为锐角三角形, +＞1,所以在图中的单位正方形内任意取一点P_i,满足以x_i,y_i,1为边长的三角形为锐角三角形的概率为P=阴影部分的面积/单位正方形的面积=1-,当n充分大时,mn≈P=1-,

所以π≈4(1-)=

所以题中给出的圆周率的近似算法是正确的.