Question

有人提出如下的圆周率的近似算法：在下图的单位正方形内均匀地取n个点p_i(x_i,y_i)(i∈{1,2,…,n}),然后统计出以x_i,y_i,1为边长的三角形中锐角三角形的个数m，则当n充分大时，π≈，试分析这种算法是否正确.

Answer 1

思路解析：通过计算以x_i,y_i,1为边长的锐角三角形的概率，可得到与圆周率π的等式，再根据随机数的知识分析.

解：根据题目中提出的算法，有0＜x_i＜1,0＜y_i＜1，

所以以x_i,y_i,1为边长的三角形中，长为1的边所对角A为最大角，

当且仅当0°＜A＜90°时，以x_i,y_i,1为边长的三角形为锐角三角形，x_i²+y_i²＞1，所以在图中的单位正方形内任意取一点P_i，满足以x_i,y_i,1为边长的三角形为锐角三角形的概率为P=阴影部分的面积/单位正方形的面积=1-，当n充分大时，≈P=1-，所以π≈4(1-)=，所以题中给出的圆周率的近似算法是正确的.