Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂,离心率为且过点(4,).

(1)求双曲线的标准方程;

(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点,求证:F₁M⊥F₂M.

Answer 1

(1)解:由双曲线的离心率为,即,

则,∴a=b,

即双曲线为等轴双曲线.

可设其方程为x²-y²=λ(λ≠0).

由于双曲线过点(4, ),

则4²-()²=λ.

∴λ=6.∴双曲线方程为.

(2)证明:由(1)可得F₁、F₂的坐标分别为(-2,0)、(2,0),M、N的坐标分别为(3, )、(3,-),

∴,.

故,

∴F₁M⊥F₂M.

启示:(1)离心率给定的问题应先研究a、b的关系,简化设方程的字母个数.

(2)λ≠0时,方程x²-y²=λ既可表示焦点在x轴上也可表示焦点在y轴上的双曲线.