Question

已知定义域是（0，+∞）的函数f（x）满足；
（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；
（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出下列结论：
①对任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=0；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“?k∈Z，使得（a，b）⊆（3^k，3^k+1）．”
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第①②个条件得到②正确，③错误；对于④，令3^k≤a＜b≤3^k+1，
利用函数单调性的定义判断即可．

解答：解：①∵对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
∴f（3^m）=f（3•3^m-1）=3f（3^m-1）=…=3^m-1f（3）=0，故①正确；
②取x∈（3^m，3^m+1]，则

x

3m

∈（1，3]，
f（

x

3m

）=3-

x

3m

，f（

x

3

）=…=3^mf（

x

3m

）=3^m+1-x，从而函数f（x）的值域为[0，+∞）；即②正确；=3m+1-x，
从而f（x）∈[0，+∞），故②正确；
③∵x∈（1，3]时，f（x）=3-x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3ⁿ+1）=3ⁿf（1+

1

3n

）=3ⁿ[3-（1+

1

3n

）]=3ⁿ（2-

1

3n

）≠0，故③错误；
④令3^k≤a＜b≤3^k+1，
则1≤

a

3k

＜

b

3k

≤3，
∴f（a）-f（b）=f（3^k•

a

3k

）-f（3^k•

b

3k

）=3^k[f（

a

3k

）-f（

b

3k

）]=3^k[（3-

a

3k

）-（3-

b

3k

）]=3^k（

b

3k

-

a

3k

）=b-a＞0，
∴函数f（x）在区间（a，b））⊆（3^k，3^k+1）上单调递减，
故④正确；
综上所述，正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度大，属于难题．