Question

已知定义域为（0，+∞）函数f（x）的解析式满足（x-1）f（x-1）=x²-2x+2．函数g（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

，则函数g（x）在区间[-2，-

1

2

]上的值域是

[2，

5

2

]

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）满足（x-1）f（x-1）=x²-2x+2，可求出函数f（x）的解析式，进而得到函数g（x）的解析式，结合x∈[-2，-

1

2

]，可得函数的最值，从而可求得函数的值域．

解答：解：由（x-1）f（x-1）=x²-2x+2，得f（x-1）=

x2-2x+2

x-1

=（x-1）+

1

x-1

，
∴f（x）=x+

1

x

（x＞0），
则g（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

=

x+ 1 x ，x＞0 -x- 1 x ，x＜0

，
当x∈[-2，-

1

2

]时，g（x）=-x-

1

x

，g′（x）=-1+

1

x2

=

(1+x)(1-x)

x2

，
当x∈[-2，-1）时，g′（x）＜0，g（x）递增；当x∈（-1，-

1

2

]时，g′（x）＞0，g（x）递增，
∴x=-1时g（x）取得最小值为g（-1）=2，
又g（-2）=g（-

1

2

）=

5

2

，∴g（x）的最大值为

5

2

，
故函数g（x）在区间[-2，-

1

2

]上的值域为：[2，

5

2

]．
故答案为：[2，

5

2

]．

点评：本题考查函数单调性及其应用，属中档题，解决本题的关键是利用根据已知条件先求得f（x）．