Question

在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，且过D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=

a2-c2

．即可得出．
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），利用中点坐标公式可得

x= x0+1 2 y= y0 2

，即

x0=2x-1 y0=2y

由于点P在椭圆上，代入椭圆方程即可．

解答：解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=

a2-c2

=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），
由

x= x0+1 2 y= y0 2

，得

x0=2x-1 y0=2y

∵点P在椭圆上，得

(2x-1)2

4

+(2y)2=1，
∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-

1

2

)2+4y2=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、“代点法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．