Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，-sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos2C，其中A，B，C是△ABC的内角
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+2sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由数量积的坐标运算结合两角和的余弦化为关于cosC的一元二次方程求得cosC，从而得到角C的大小；
（2）用A表示B，借助于辅助角公式化简，则sinA+2sinB的取值范围可求．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B），
∵A+B+C=π，∴cos（A+B）=-cosC=cos2C，
即2cos²C+cosC-1=0．
故cosC=$\frac{1}{2}$或cosC=-1．
又0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）sinA+2sinB=sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2sinA+$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{7}$sin（A+θ），
其中θ为锐角，且tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，0＜θ＜$\frac{π}{4}$．∴θ＜A+θ＜$\frac{2π}{3}$+θ．当A+θ=$\frac{π}{2}$时，sinA+2sin有最大值$\sqrt{7}$；
又∵A=0时，sinA+2sinB=$\sqrt{3}$，A=$\frac{2π}{3}$时，sinA+2sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故sinA+2sin2B的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{7}]$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数值域的求法，关键是对角范围的讨论，是中档题．