题目内容

11．如图所示，已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，直线AB：y=kx+m（k＜0）与椭圆C交于不同的A，B两点．
（Ⅰ） 若k=-1，m=$\sqrt{2}$，点P在直线AB上求|PF1|+|PF2|的最小值；
（Ⅱ） 若以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求直线AB的方程；
（2）在椭圆C上求点Q的坐标，使得△ABQ的面积最大．

分析 （Ⅰ）求出椭圆的焦点坐标，直线AB的方程，求出F2关于直线AB的对称${F}_{2}′（\sqrt{2}，\sqrt{2}-1）$，然后求解|PF1|+|PF2|的最小值．
（Ⅱ）（1）设点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．利用原点O到直线AB的距离得到m、k的关系，联立y=kx+m与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，通过韦达定理以及$\overrightarrow{A{F_2}}•\overrightarrow{B{F_2}}=0$，求出m、k的值，然后求出AB的方程．
（2）由（1）可知，|AB|是定值，当椭圆C上的点Q使得△ABQ的面积最大时，点Q到直线AB的距离为最大，即点Q为在直线AB的下方平行于AB且与椭圆C相切的切点．设平行于AB且与椭圆C相切的切线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 由椭圆方程可得，焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0）．        …（1分）
当k=-1，$m=\sqrt{2}$时，直线AB的方程为$y=-x+\sqrt{2}$．        …（2分）
则可得F2（1，0）关于直线AB的对称点为${F}_{2}′（\sqrt{2}，\sqrt{2}-1）$．         …（3分）
∴|PF1|+|PF2|的最小值为：$|{F}_{1}{F}_{2}′|=\sqrt{{（\sqrt{2}+1）}^{2}+{（\sqrt{2}-1）}^{2}}=\sqrt{6}$．  …（4分）
（Ⅱ）：（1）设点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．
由原点O到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，得$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，即${m^2}=\frac{4}{5}（1+{k^2}）$．①…（5分）
将y=kx+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（2k2-m2+1）＞0，∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．                   …（6分）
由已知，得$\overrightarrow{A{F_2}}•\overrightarrow{B{F_2}}=0$，即（x1-1）（x2-1）+y1y2=0．         …（7分）
∴（x1-1）（x2-1）+（kx1+m）（kx2+m）=0，
即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（km-1）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+1=0$，
∴$（1+{k^2}）•\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+（km-1）•\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}+{m^2}+1=0$，
化简，得3m2+4km-1=0．②…（8分）
由①②，得${m^2}=\frac{4}{5}[1+{（\frac{{1-3{m^2}}}{4m}）^2}]$，即11m4-10m2-1=0，∴m2=1．
∵k＜0，∴$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，满足△=8（2k2-m2+1）＞0．
∴AB的方程为$y=-\frac{1}{2}x+1$． …（9分）
（2）由（1）可知，|AB|是定值，当椭圆C上的点Q使得△ABQ的面积最大时，点Q到直线AB的距离为最大，即点Q为在直线AB的下方平行于AB且与椭圆C相切的切点．设平行于AB且与椭圆C相切的切线方程为$y=-\frac{1}{2}x+n（n＜0）$，由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$\frac{3}{2}{x^2}-2nx+2{n^2}-2=0$，∴△=-8n2+12=0，
∴$n=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，（$n=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$舍去），…（11分）
从而，可得Q的坐标为$Q（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$．                 …（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．

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