Question

已知点A（-1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且k_MA-k_MB=-2．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过定点（0，-

3

4

）作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用斜率公式，结合k_MA-k_MB=-2，化简即可求点M的轨迹C的方程；
（2）设出直线方程，代入曲线方程，利用韦达定理，计算弦长，即可求|PQ|的最小值．

解答：解：（1）设M（x，y），（1分）
则kMA=

y

x+1

，kMb=

y

x-1

，(x≠±1)（3分）
∴

y

x+1

-

y

x-1

=-2（4分）
∴x²=y+1（x≠±1）（6分）（条件1分）
（2）显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y=kx-

3

4

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁-y₂=k（x₁-x₂），（8分）
联立

x2=y+1 y=kx- 3 4

，消去y得x2-kx-

1

4

=0（9分）
∵△=k²+1＞0，∴k∈R，（10分）
∵x1+x2=k，x1x2=-

1

4

（11分）
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=k²+1≥1，
当且仅当k=0时取等号，此时P(-

1

2

，-

3

4

)，Q(

1

2

，-

3

4

)（13分）
∴|PQ|的最小值是1．                                  （14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．