Question

已知(

x

+

1

2 4 x

)n展开式的前三项系数成等差数列．则（1）n=

8

；（2）展开式的一次项是

35x

8

；（3）展开式中的有理项是

x⁴，

35

8

x，

1

256

x^-2

．

Answer 1

分析：首先利用二项展开式的前三项系数成等差数列，由等差数列的特性列出关于n的方程，求出n的值，然后写出通项公式并进行化简，令字母的指数符合所需要的条件，从而确定特定项．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展开式的前三项系数成等差数列，
∴

C

0 n

+

C

2 n

(

1

2

)2=2

C

1 n

×

1

2

，
∴1+

n(n-1)

2

×

1

4

=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍去），n₂=8，
∴n=8．
（2）∵T_r+1=

C

r 8

(

x

)8-r×(

1

2

)rx-

r

4

=(

1

2

)r

C

r 8

x4-

3

4

r，
∴令4-

3

4

r=1得r=4．
∴T₅=(

1

2

)4

C

4 8

x=

1

16

×

8×7×6×5

4×3×2×1

x=

35

8

x，
∴展开式的一次项是

35

8

x．
（3）当令4-

3

4

r∈Z时，T_r+1为有理项，因为0≤r≤8且r∈Z，
所以r=0，4，8符合要求．
故有理项有3项，分别是T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．
故答案为（1）8；（2）

35

8

x；（3）x⁴，

35

8

x，

1

256

x^-2．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查等差数列的性质，考查方程思想与运算能力，属于中档题．