Question

（1）已知(

x

+

1

2 4 x

)n展开式的前三项系数成等差数列．求n．
（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x²和曲线y=

x

围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，

C

0 n

+

C

2 n

(

1

2

)2=2

C

1 n

•

1

2

，解关于n的方程即可；
（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分

∫

1 0

(

x

-x2)dx可求叶形图的面积，从而使问题解决．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展开式的前三项系数成等差数列，
∴

C

0 n

+

C

2 n

(

1

2

)2=2

C

1 n

•

1

2

…（3分）
∴1+

n(n-1)

2

×

1

4

=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍）  n₂=8…（6分）
（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：
P（A）=

叶形图面积

AOBC的面积

=

∫ 1 0 ( x -x2)dx

1

=（

2

3

x

3

2

-

1

3

x3）

|

1 0

=

1

3

…（12分）

点评：本题考查二项式定理的应用，突出考查几何概型，定积分求面积，突出运算能力的考查，属于中档题．