Question

定义在[-1，-1]上的偶函数f（x），当x∈[-1，0]时，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求出f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，由条件可得f（-x）的解析式．再由f（-x）=f（x），可得f（x）的解析式．
（2）令t=2^x，则t∈[1，2]，故有f（x）=g（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

，再利用二次函数的性质求得g（t）的最大值．
（3）由于f（x）是[0，1]上的增函数，可得g（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

在[1，2]上单调递增，故有

a

2

≤1，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，由题意可得f（-x）=

1

4-x

-

a

2-x

=4^x-a•2^x．
再由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），
故有f（x）=4^x-a•2^x，x∈[0，1]．
（2）令t=2^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，故有f（x）=g（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

，
显然，g（t）是二次函数，对称轴为t=

a

2

，图象开口向上．
当

a

2

≤

3

2

时，即a≤3时，g（t）的最大值为g（2）=4-2a；
当

a

2

＞

3

2

时，即a＞3时，g（t）的最大值为g（1）=1-a．
综上可得，a≤3时，g（t）的最大值为4-2a；a＞3时，g（t）的最大值为1-a．
（3）由于f（x）是[0，1]上的增函数，故g（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

在[1，2]上单调递增，
故有

a

2

≤1，解得a≤2，故实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题主要考查求函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．