Question

已知函数f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有单调性．
（I）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f'（x）是f（x）的导函数，设g(x)=f′(x)+6-

2

x2

，试证明：对任意两个不相等正数x₁、x₂，不等式|g(x1)-g(x2)|＞

38

27

|x1-x2|恒成立．

Answer 1

（I）f′(x)=2x-6+

a

x

=

2x2-6x+a

x

，
∵f（x）在x∈（2，+∞）上不具有单调性，∴在x∈（2，+∞）上f'（x）有正也有负也有0，
即二次函数y=2x²-6x+a在x∈（2，+∞）上函数值有负数．
∵y=2x²-6x+a是对称轴是x=

3

2

，开口向上的抛物线，
∴2•2²-6•2+a＜0的实数a的取值范围（-∞，4）
故答案为（-∞，4）．

（II）由（I）g(x)=f′(x)-

2

x2

+6=2x+

a

x

-

2

x2

(x＞0)，
∵a＜4，∴g′(x)=2-

a

x2

+

4

x3

＞2-

4

x2

+

4

x3

=

2x3-4x+4

x3

，（8分）
设h(x)=2-

4

x2

+

4

x3

，h′(x)=

8

x3

-

12

x4

=

4(2x-3)

x4

，h（x）在(0，

3

2

)是减函数，在(

3

2

，+∞)增函数，
当x=

3

2

时，h（x）取最小值

38

27

∴从而g'（x）＞

38

27

，∴(g(x)-

38

27

x)′＞0，
函数y=g(x)-

38

27

x是增函数，x₁、x₂是两个不相等正数，
不妨设x₁＜x₂，则g(x2)-

38

27

x2＞g(x1)-

38

27

x1
∴g(x2)-g(x1)＞

38

27

(x2-x1)，
∵x₂-x₁＞0，∴

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞

38

27

∴|

g(x1)-g(x2)

x1-x2

|＞

38

27

，即|g(x1)-g(x2)|＞

38

27

|x1-x2|