Question

如图：正四面体MBCD的棱长为2，AB⊥平面BCD，AB=．
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面MBC的法向量，利用．求出点A到平面MBC的距离；
（2）求出平面ACM的法向量，又平面BCD的法向量，利用向量的数量积公式求出两个法向量的夹角余弦，进一步求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
解答：解：（1）△BCD为正三角形，取CD的中点E，则BE⊥CD，
又AB⊥平面BCD，，则以B为原点，过B作l∥CD为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，
有B（0，0，0），C（1，，0），M（0，），A（0，0，）
设平面MBC的法向量为，），
所以解得

设点A到平面MBC的距离为d则．
（2）因为，，
设平面ACM的法向量为
则有解得
又平面BCD的法向量
所以
设平面ACM与平面BCD所成二面角的所成的角为θ
所以
点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．