题目内容
如图：正四面体MBCD的棱长为2，AB⊥平面BCD，AB=
| ||
| 3 |
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面MBC的法向量，利用d=
=
．求出点A到平面MBC的距离；
（2）求出平面ACM的法向量，又平面BCD的法向量
=(0，0，1)，利用向量的数量积公式求出两个法向量的夹角余弦，进一步求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
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|
| ||
| 3 |
（2）求出平面ACM的法向量，又平面BCD的法向量
| n2 |
解答：解：（1）△BCD为正三角形，取CD的中点E，则BE⊥CD，
又AB⊥平面BCD，，则以B为原点，过B作l∥CD为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，
有B（0，0，0），C（1，
，0），M（0，
，
），A（0，0，
）
设平面MBC的法向量为
=(x，y，z)，
=(0，
，
），
=(1，
，0)
所以
解得
=(
，-1，
)
=(0，0，
)
设点A到平面MBC的距离为d则d=
=
．
（2）因为
=(-1，-
，
)，
=(-1，-
，
)，
设平面ACM的法向量为
=(x，y，z)
则有
解得
=(
，0，3)
又平面BCD的法向量
=(0，0，1)
所以cos＜
，
＞=
=
设平面ACM与平面BCD所成二面角的所成的角为θ
所以sinθ=
=
又AB⊥平面BCD，，则以B为原点，过B作l∥CD为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，
有B（0，0，0），C（1，
| 3 |
2
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| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
设平面MBC的法向量为
| n |
| BM |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| BC |
| 3 |
所以
|
| n |
| 3 |
| 2 |
| BA |
| ||
| 3 |
设点A到平面MBC的距离为d则d=
|
| ||||
|
|
| ||
| 3 |
（2）因为
| CM |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| CA |
| 3 |
| ||
| 3 |
设平面ACM的法向量为
| n1 |
则有
|
| n1 |
| 6 |
又平面BCD的法向量
| n2 |
所以cos＜
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
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| ||
| 5 |
设平面ACM与平面BCD所成二面角的所成的角为θ
所以sinθ=
1-(
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| ||
| 5 |
点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．
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