题目内容

在数列a_n中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求证：数列 $数学公式$ 为等差数列；
（2）若m为正整数，当 $数学公式$

解：（I）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹变形得： $\text{[math]}$
故数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，1为公差的等差数列
（II）由（I）得a_n=n•2ⁿ $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ 为递减数列．
当m=n时，f（n）＞f（n+1）
∴当m≥n≥2时，f（n）递减数列．
∴ $\text{[math]}$
要证： $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
故原不等式成立．
分析：（I）把题设中数列递推式变形得 $\text{[math]}$ ，根据等差数列的定义判断出数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．
（II）根据（I）可求得数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，进而求得a_n，令f（n）= $\text{[math]}$ ，则可表示出f（n+1），进而求得当m≥n≥2时 $\text{[math]}$ 的表达式，进而求得解决大于1，判断出f（n）为递减数列，进而可推断出f（n）的最大值为
f（2），进而问题转化为证明f（2）≤ $\text{[math]}$ ．进而根据 $\text{[math]}$ 推断出 $\text{[math]}$ 进而可知 $\text{[math]}$ 原式得证．
点评：本题主要考查了等差关系的确定，数列与不等式的综合运用．考查了考生综合分析问题和演绎推理的能力，转化和化归思想的运用．属中档题．