Question

已知椭圆x²+my²=1的离心率e∈(

1

2

 ， 1)，则实数m的取值范围是（　　）

• A．(0 ，  

  3

  4

  )
• B．(

  4

  3

   ， +∞)
• C．(0 ，  

  3

  4

  )∪(

  4

  3

   ， +∞)
• D．(

  3

  4

   ， 1)∪(1 ， 

  4

  3

  )

Answer 1

分析：将方程化为标准方程，再分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数m的取值范围．

解答：解：椭圆x²+my²=1化为标准方程为

x2

1

+

y2

1 m

=1
①若1＞

1

m

，即m＞1，a2=1，b2=

1

m

，
∴c2=a2-b2=1-

1

m

，
∴e2=

c2

a2

=1-

1

m

∈(

1

4

，1)，
∴m＞

4

3

②若0＜

1

m

＜1，即0＜m＜1，a2=

1

m

，b2=1，
∴c2=a2-b2=

1

m

-1，
∴e2=

c2

a2

=1-m∈(

1

4

，1)，
∴0＜m＜

3

4

∴实数m的取值范围是(0 ， 

3

4

)∪(

4

3

， +∞)
故选C．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于基础题．