Question

【题目】已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数k使得对恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k的最大值为2.
【解析】
（Ⅰ），,,,曲线y=f(x)在点（0，f(0))处的切线方程为
（Ⅱ）当时，,即不等式,对成立，设,则,当时，,故在（0，1）上为增函数，则,因此对，成立；
（Ⅲ）使成立，，等价于，；，
当时，，函数在（0，1）上为增函数，，符合题意；
当时，令,,不合题意，
所以k的最大值为2.
【考点精析】掌握导数的几何意义是解答本题的根本，需要知道通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即．