Question

已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）由椭圆的右焦点，即.又短轴的端点分别为,且，即可求出，的值.从而得到椭圆的方程.
（2）由（1）可得假设直线AB的方程联立椭圆方程消去y即可得到一个关于x的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k的关系式.写出线段AB的中点坐标以及线段AB的垂直平分线的方程.即可得到点D的坐标.即可求得线段PD的长，根据弦长公式可得线段MN的长度，再通过最的求法即可得结论.
试题解析：（1）依题意不妨设，，则，.
由，得.
又因为，
解得.
所以椭圆的方程为.
（2）依题意直线的方程为. 
由得.
设，，则，.
所以弦的中点为
.
所以

.
直线的方程为，
由，得，则，
所以.
所以.
又因为，所以.
所以.
所以的取值范围是.