Question

已知直线l上有两定点A、B，线段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离．

Answer 1

分析：解法一：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE=AC把ABEC构造成一个矩形，因为AB∥CE且平面ABEC与平面BCE交于直线EC∴AB∥平面CDE．则AB与CD的距离即为B到DE的距离，过B作BF⊥DE于F，在直角三角形BDF中，∠DBF=

1

2

×120^°=60^°，所以∠BDF=30°．根据在直角三角形中，30^°角所对的直角边等于斜边的一半求出BF即可．
解法二；建立坐标系，则分别表示A，C，D，AB与CD的公垂线的方向向量

n

，利用

n

•

AB

为零，

n

•

CD

为零，求出

n

，即求出d．

解答：解法一：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE=AC，则ABEC为矩形．
∴AB∥CE．
∴AB∥平面CDE．
则AB与CD的距离即为B到DE的距离．
过B作BF⊥DE于F，易求BF=

1

2

a．
解法二：建系如图，
则A（0，0，b），C（-

1

2

a，

3

2

a，a），D（a，0，0），
设AB与CD的公垂线的一个方向向量

n

=（x，y，z），
利用

n

•

AB

=0，

n

•

CD

=0，
求出

n

，则d=

|n• BD |

|n|

=

1

2

a．

点评：考查（1）要求异面直线的距离，利用平移直线的方法转化成点到线的距离．体现空间问题转化为平面问题的数学思想．
（2）构造坐标系，在坐标系中会表示一个向量，会利用

a

与

b

垂直?

a

•

b

=0．