Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=-

2

3

与x=1处都取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到结果．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b        
由f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0   
得a=-

1

2

，b=-2                    
经检验，a=-

1

2

，b=-2符合题意
所以，所求的函数解析式为f(x)=x3-

1

2

x2-2x
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-2，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

且f(-2)=-6，f(-

2

3

)=

22

27

，f(1)=-

3

2

，f(0)=0所以当x∈[-2，2]时，f(x)max=f(-

2

3

)=

22

27

，f(x)min=f(-2)-6

点评：本题考查函数的最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．