Question

已知函数f（x）=x+

p

x

+m（p≠0）是奇函数．
（1）求m的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∴-x-

p

x

+m=-x-

p

x

-m．
∴2m=0，
∴m=0．
（2）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在[1，2]上为增函数．
∴f（x）_max=f（2）=2+

p

2

，f（x）_min=f（1）=1+p．

（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，

p

]上是减函数，在[

p

，+∞）上是增函数．
①当

p

＜1，即0＜p＜1时，f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）_max=f（2）=2+

p

2

，f（x）_min=f（1）=1+p．
②当

p

∈[1，2]时，f（x）在[1，p]上是减函数．在[p，2]上是增函数．
f（x）_min=f（

p

）=2

p

．
f（x）_max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+

p

2

}．
当1≤p≤2时，1+p≤2+

p

2

，f（x）_max=f（2）；
当2＜p≤4时，1+p≥2+

p

2

，f（x）_max=f（1）．
③当

p

＞2，即p＞4时，f（x）在[1，2]上为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=1+p，f（x）_min=f（2）=2+

p

2

．