题目内容
【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题,
①双曲线
与椭圆
有相同的焦点；
②在平面内，设
为两个定点，
为动点，且
，其中常数
为正实数，则动点
的轨迹为椭圆；
③方程
的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过双曲线
的右焦点
作直线
交双曲线于两点，若
，则这样的直线有且仅有3条.
其中真命题的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
利用椭圆和双曲线的几何性质，焦点、离心率等知识来判定四个选项
①在双曲线
中，
，则双曲线的焦点坐标为
，在椭圆
中，
，则椭圆的焦点坐标为
，则它们的焦点不相同，故错误；
②在平面内，设
为两个定点，
为动点，且
，其中常数
为正实数，则动点
的轨迹为椭圆，错误。当
，则动点的轨迹为椭圆；当
时，则动点的轨迹为线段
，当
时，则动点的轨迹不存在；
③方程
的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，因为椭圆的离心率在
内，双曲线的离心率大于1，故正确；
④当过右焦点垂直于
轴的直线与双曲线的右支的交点为
，
，
所以与右支有两个交点时，只有一条直线；
，则过右焦点与双曲线左右支各一个交点时，满足此时有2条直线，一共有3条直线，故正确
综上真命题的个数为2个
故选C
【题目】抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额
（元）如下（四舍五入取整数）：
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
对这20个数据进行分组，各组的频数如下：
组别 | 红包金额分组 | 频数 |
|
| 2 |
|
| 9 |
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
（Ⅰ）写出的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；
（Ⅱ）记
组红包金额的平均数与方差分别为
组红包金额的平均数与方差分别为
，试分别比较
与
、
与
的大小；（只需写出结论）
（Ⅲ）从
两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为
，求
的分布列和数学期望．
