Question

1．已知{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，S_n为{a_n}的前n项和．
（1）求通项a_n及S_n；
（2）设{$\frac{b_n}{a_n}$}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：a_n=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=3^n-1，∴b_n=（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1，
3T_n=3+3×3²+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ，
∴-2T_n=1+2×（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ
=$1+2×\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-1）×3ⁿ=（2-2n）×3ⁿ-2，
∴T_n=（n-1）×3ⁿ+1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．