Question

在等比数列{a_n}中，已知a₁＞1，公比q＞0．设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁•b₃•b₅=0．
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与a_n的大小．

Answer 1

分析：（I）由等比数列的通项公式，结合b_n=log₂a_n化简b₁•b₃•b₅=0得a₅=1且b₅=0，代入b₁+b₃+b₅=6得log₂a₁a₃=6，由此算出a₂=8，解出q=

1

2

，即可得出{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）由（I）的结论得b_n=5-n，从而Sn=

n(9-n)

2

，再由n的取值进行分类讨论，最后综合可得当n=1或n=2或n≥9时，S_n＜a_n；当n=3、4、5、6、7、8时，S_n＞a_n成立．

解答：解：（Ⅰ）依题意，an=a1qn-1，
∵a₁＞1，q＞0，∴数列{a_n}是单调数列，
∵b₁+b₃+b₅=log₂a₃³=6，
∴a₃³=2⁶，得a₃=4
又∵b_n=log₂a_n，b₁•b₃•b₅=0及a₁＞1
∴b₅=0，可得a₅=1．
因此a3q2=1，即q²=

1

4

，解之得q=

1

2

（舍负）．
∴an=a5qn-5=(

1

2

)n-5=25-n，b_n=log₂a_n=5-n．…6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=5-n，Sn=

n(b1+bn)

2

=

n(9-n)

2

．
①当n≥9时，S_n≤0，a_n＞0，此时S_n＜a_n；
②当n=1时，S_n=4且a_n=16；当n=2时，S_n=7且a_n=8．此时S_n＜a_n；
③当n=3、4、5、6、7、8时，a_n=4、2、1、

1

2

、

1

4

、

1

8

．此时S_n＞a_n
综上所述，当n=1或n=2或n≥9时，S_n＜a_n；当n=3、4、5、6、7、8时，S_n＞a_n．…13′

点评：本题给出等比数列{a_n}满足b_n=log₂a_n，求{b_n}的通项公式并比较{b_n}的前n项和S_n与a_n的大小．着重考查了等比数列的通项公式、对数的定义与运算性质和不等式比较大小等知识，属于中档题．