Question

20．求证：a，b，c为正实数的充要条件是a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0．

Answer 1

分析 必要性（直接证法），比较容易证明，充分性（反证法）：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0．
经过推理得到a+b+c＜0与条件相矛盾，故故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．

解答 证明：必要性（直接证法）：
∵a，b，c为正实数，
∴a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，
因此必要性成立．
充分性（反证法）：
假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，
则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0．
又∵ab+bc+ca＞0，∴a（b+c）+bc＞0，且bc＜0，
∴a（b+c）＞0．①
又∵a＜0，∴b+c＜0．∴a+b+c＜0
这与a+b+c＞0相矛盾．
故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．
综上所述：a，b，c为正实数的充要条件是a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0

点评 此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查了反证法，属于中档题．