题目内容
已知函数f（x）=ax2-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）当a=1时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性，进而可求极值
（2）由f（x）=ax2-lnx，可得
，然后结合讨论a的范围，以确定f′（x）的正负，进而可确定函数f（x）的单调性，求出最小值即可求解a．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2-lnx，x∈（0，e]，
，x∈（0，e]，…（1分）
令f′（x）＞0，得
＜x＜e，f′（x）＜0，得0＜x＜
，
∴f（x）的单调增区间是[
，e]，单调减区间为（0，
]． …（4分）
f（x）的极小值为f（
）=
-ln
=
ln2．无极大值．…（5分）
（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）=ax2-lnx，（x∈[0，e]）有最小值3，
…（6分）
①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，
∴
，
（舍去）…（8分）
②当a＞0时，令f′（x）=0得：
，
（ⅰ）当0＜
＜e即a＞
时
f（x）在（0，
]上单调递减，在（
，e]上单调递增，
∴f（x）min=f（
）=
．得a=
． …（10分）
（ⅱ）当
≥e即0＜a≤
时，
x∈（0，e]时，f’（x）＜0，所以，f（x）在（0，e]上单调递减，
∴
，
（舍去），此时f（x）无最小值．
综上，存在实数
，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3．…（12分）
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
（2）由f（x）=ax2-lnx，可得
，然后结合讨论a的范围，以确定f′（x）的正负，进而可确定函数f（x）的单调性，求出最小值即可求解a．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2-lnx，x∈（0，e]，
，x∈（0，e]，…（1分）令f′（x）＞0，得
＜x＜e，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调增区间是[
，e]，单调减区间为（0，]． …（4分）f（x）的极小值为f（
）=-ln=ln2．无极大值．…（5分）（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）=ax2-lnx，（x∈[0，e]）有最小值3，
…（6分）①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，
∴
，（舍去）…（8分）②当a＞0时，令f′（x）=0得：
，（ⅰ）当0＜
＜e即a＞时f（x）在（0，
]上单调递减，在（，e]上单调递增，∴f（x）min=f（
）=．得a=． …（10分）（ⅱ）当
≥e即0＜a≤时，x∈（0，e]时，f’（x）＜0，所以，f（x）在（0，e]上单调递减，
∴
， （舍去），此时f（x）无最小值．综上，存在实数
，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3．…（12分）点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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