Question

函数f（x）=xe^x-a有两个零点，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

＜a＜0
分析：由函数的解析式，求出函数的导函数，由导数法，可得当x=-1时，函数取最小值，若函数有两个零点，则最小值f（-1）＜0，结合a≥0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe^x-a＜0恒成立，不存在零点，可得实数a的取值范围
解答：∵函数f（x）=xe^x-a的导函数f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，则x=-1
∵当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故当x=-1时，函数取最小值f（-1）=-e^-1-a
若函数f（x）=xe^x-a有两个零点，则f（-1）=-e^-1-a＜0
即a＞
又∵a≥0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe^x-a＜0恒成立，不存在零点
故a＜0
综上，＜a＜0
故答案为：＜a＜0
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，解答时易忽略a≥0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe^x-a＜0恒成立，不存在零点，而错解为a＞．