Question

13．已知函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
（1）求函数y=f（-2x）+1的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，且a=8，sinB+sinC=$\frac{{13\sqrt{3}}}{16}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），可得y=f（-2x）+1=-2sin（4x-$\frac{π}{3}$）+1，易得最小正周期，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数的单调递减区间；
（2）由题意易得A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得b+c=13，由余弦定理可得bc=35，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA计算可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$（2cos²x-1）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴y=f（-2x）+1=2sin（-4x+$\frac{π}{3}$）+1
=-2sin（4x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴函数y=f（-2x）+1的最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{24}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{5π}{24}$，
∴函数的单调递减区间为[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{24}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{5π}{24}$]（k∈Z）；
（2）∵f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，∴2sin（A-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵A为锐角，∴A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得sinB+sinC=$\frac{b+c}{a}$sinA=$\frac{b+c}{8}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{13\sqrt{3}}}{16}$，
∴b+c=13，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
代入数据可得64=169-3bc，∴bc=35，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×35×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{35\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和周期性以及解三角形，属中档题．