Question

已知极坐标系下曲线C的方程为ρ=2cosθ+4sinθ，直线l经过点P(

2

，

π

4

)，倾斜角α=

π

3

．
（Ⅰ）求直线l在相应直角坐标系下的参数方程；
（Ⅱ）设l与曲线C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出点P的直角坐标及斜率，进而求出其参数方程；
（Ⅱ）先求出圆C的直角坐标方程，再把直线的参数方程代入即可求出．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l经过点P(

2

，

π

4

)，∴x=

2

cos

π

2

=1，y=

2

sin

π

4

=1，∴点P（1，1）．
∵直线l的倾斜角α=

π

3

，∴斜率k=tan

π

3

=

3

．
∴直线l的参数方程为

x=1+ 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t为参数)．
（Ⅱ）∵曲线C的方程为ρ=2cosθ+4sinθ，∴ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，
∴x²+y²=2x+4y，
∴圆C：（x-1）²+（y-2）²=5，
把直线l的参数方程

x=1+ 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t为参数)代入圆的方程得
t2-

3

t-4=0，
∴t₁t₂=-4．
∴|t₁t₂|=4即为点P到A、B两点的距离之积．

点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式及参数的意义是解题的关键．